Simulado da Avaliação 1

No mesmo formato da prova: faça no tempo dela (40 minutos no papel, 60 no Colab) e só depois confira as respostas com a turma ou com o professor.

Parte em papel

Use 4 casas decimais. Calculadora e formulário permitidos.

Questão 1 — Erros e critério de parada. A série de Taylor do cosseno é \(\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + \cdots\) Para \(x = 0{,}5\) (exato: \(\cos 0{,}5 = 0{,}8775825619\)), calcule as somas com 1, 2, 3 e 4 termos, com \(\varepsilon_t\) e \(\varepsilon_a\) de cada uma. Com quantos termos o critério de Scarborough garante 3 algarismos significativos?

Questão 2 — Derivada de dados. A altura de um drone foi registrada a cada 2 s:

\(t\) (s)	0	2	4	6	8
\(h\) (m)	0	9,6	36,2	71,5	102,3

Estime a velocidade de subida em \(t = 0\), \(t = 4\) e \(t = 8\) s, e a aceleração em \(t = 4\) s. Diga qual fórmula usou em cada ponto.

Questão 3 — Bisseção. Faça 3 iterações da bisseção para \(f(x) = e^{-x} - x\) em \([0, 1]\), com uma tabela de \(a\), \(b\), \(x_m\) e \(f(x_m)\).

Questão 4 — Dedução. Deduza a fórmula do método de Newton-Raphson a partir da reta tangente, com um desenho.

Questão 5 — Conceito. Por que, na derivada numérica, um \(h\) pequeno demais piora o resultado?

Parte no Colab

Material do curso permitido; assistente de IA não.

Questão 6 — Raiz. Um tanque esférico de raio 3 m guarda água. Com a água na altura \(h\), o volume é \(V(h) = \dfrac{\pi h^2 (9 - h)}{3}\). Que altura corresponde a 30 m³? Resolva com uma bisseção e com Newton escritos por você, e confira com o brentq.

Questão 7 — Derivada de dados. A temperatura de um motor ao ligar foi medida a cada 5 s:

t = [0, 5, 10, 15, 20, 25, 30]
T = [25.0, 31.2, 39.8, 50.1, 58.0, 63.2, 66.5]

Calcule a taxa de aquecimento (°C/s) em cada instante, desenhe o gráfico e diga quando o motor esquentou mais depressa.

Questão 8 — Otimização. Uma caixa sem tampa é feita de uma folha quadrada de 30 cm, cortando um quadrado de lado \(x\) em cada canto e dobrando as abas. O volume é \(V(x) = x(30 - 2x)^2\). Que \(x\) dá o maior volume? Use varredura e Newton para otimização, confira com o minimize_scalar e verifique o sinal de \(f''\).