Formulário¶
As fórmulas do curso, na forma em que aparecem no quadro. Este formulário cresce junto com o curso, e é o mesmo que acompanha a parte em papel das avaliações.
Modelos: o passo de Euler¶
Erros¶
| Grandeza | Fórmula |
|---|---|
| erro absoluto | \(\lvert \text{aproximado} - \text{exato} \rvert\) |
| erro relativo percentual (verdadeiro) | \(\varepsilon_t = \left\lvert \dfrac{\text{aproximado} - \text{exato}}{\text{exato}} \right\rvert \times 100\%\) |
| erro relativo aproximado (entre iterações) | \(\varepsilon_a = \left\lvert \dfrac{\text{atual} - \text{anterior}}{\text{atual}} \right\rvert \times 100\%\) |
| tolerância para \(n\) algarismos significativos (Scarborough) | \(\varepsilon_s = 0{,}5 \times 10^{\,2-n}\,\%\); pare quando \(\varepsilon_a < \varepsilon_s\) |
Série de Taylor¶
Derivadas¶
| Fórmula | Expressão | Erro |
|---|---|---|
| progressiva | \(f'(x) \approx \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}\) | \(O(h)\) |
| regressiva | \(f'(x) \approx \dfrac{f(x) - f(x-h)}{h}\) | \(O(h)\) |
| central | \(f'(x) \approx \dfrac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}\) | \(O(h^2)\) |
| segunda derivada central | \(f''(x) \approx \dfrac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}\) | \(O(h^2)\) |
| central com espaçamento irregular (tabela) | \(y'_i \approx \dfrac{y_{i+1} - y_{i-1}}{t_{i+1} - t_{i-1}}\) | — |
Numa tabela, use a progressiva no primeiro ponto e a regressiva no último.
Raízes de equações¶
| Método | Iteração | Precisa de |
|---|---|---|
| bisseção | \(x_m = \dfrac{a + b}{2}\); se \(f(a)\,f(x_m) < 0\), \(b = x_m\), senão \(a = x_m\) | troca de sinal em \([a, b]\) |
| falsa posição | \(x_r = b - \dfrac{f(b)\,(a - b)}{f(a) - f(b)}\); mesma troca de lado | troca de sinal em \([a, b]\) |
| Newton-Raphson | \(x_{i+1} = x_i - \dfrac{f(x_i)}{f'(x_i)}\) | um chute e \(f'\) |
| secante | \(x_{i+1} = x_i - \dfrac{f(x_i)\,(x_{i-1} - x_i)}{f(x_{i-1}) - f(x_i)}\) | dois chutes |
Iterações da bisseção para erro menor que \(\Delta\): \(n > \log_2\!\big((b - a)/\Delta\big)\).
Otimização¶
Para um máximo de \(f\), minimize \(-f\).
Sistemas lineares¶
Montar o sistema: (1) nomeie as incógnitas, com unidade; (2) uma equação por informação; (3) arrume: incógnitas na mesma ordem (uma por coluna), zeros explícitos, constantes à direita; (4) resolva e confira no problema. Comparações ("B é o dobro de A") viram \(-2A + B = 0\); conservação: o que entra = o que sai.
Malhas de um circuito: na diagonal, a soma dos resistores da malha; fora dela, menos o resistor dividido entre as duas malhas.
Eliminação de Gauss. Para cada coluna \(k\) e linha \(i > k\): \(\text{fator} = A_{ik}/A_{kk}\), \(A_{ij} \leftarrow A_{ij} - \text{fator}\cdot A_{kj}\), \(b_i \leftarrow b_i - \text{fator}\cdot b_k\).
Substituição (de \(i = n-1\) até \(0\)): \(x_i = \dfrac{b_i - \sum_{j > i} A_{ij}\,x_j}{A_{ii}}\).
Pivotamento parcial: antes de cada coluna \(k\), traga para a linha \(k\) a linha com o maior \(|A_{ik}|\).
Jacobi e Gauss-Seidel: \(x_i = \dfrac{b_i - \sum_{j \neq i} A_{ij}\,x_j}{A_{ii}}\) (Jacobi usa os valores antigos; Gauss-Seidel, os mais recentes).
Dominância diagonal (garante a convergência): \(|A_{ii}| > \sum_{j \neq i} |A_{ij}|\) em toda linha.
Interpolação¶
Linear entre \((x_0, y_0)\) e \((x_1, y_1)\): \(y = y_0 + \dfrac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0)\).
Lagrange: \(p(x) = \sum_i y_i\,L_i(x)\), com \(L_i(x) = \prod_{j \neq i} \dfrac{x - x_j}{x_i - x_j}\).
Newton: \(p(x) = c_0 + c_1(x - x_0) + c_2(x - x_0)(x - x_1) + \cdots\), com as diferenças divididas \(f[x_i, x_{i+1}] = \dfrac{y_{i+1} - y_i}{x_{i+1} - x_i}\), \(f[x_i, \ldots, x_{i+k}] = \dfrac{f[x_{i+1}, \ldots, x_{i+k}] - f[x_i, \ldots, x_{i+k-1}]}{x_{i+k} - x_i}\).
Nós de Chebyshev em \([a, b]\): \(x_k = \dfrac{a+b}{2} + \dfrac{b-a}{2}\cos\!\left(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\right)\).
Spline cúbica: um polinômio de grau 3 por trecho, com valor, inclinação e curvatura contínuos nos pontos internos.
Integrais¶
Com \(n\) faixas de largura \(h = (b - a)/n\) e \(y_i = f(x_i)\):
| Regra | Fórmula | Erro |
|---|---|---|
| trapézio | \(\dfrac{h}{2}\Big(y_0 + 2\,(y_1 + \cdots + y_{n-1}) + y_n\Big)\) | \(O(h^2)\) |
| Simpson 1/3 (\(n\) par) | \(\dfrac{h}{3}\Big(y_0 + 4\,(y_1 + y_3 + \cdots) + 2\,(y_2 + y_4 + \cdots) + y_n\Big)\) | \(O(h^4)\) |
Tabela com espaçamento qualquer: \(\sum_i \dfrac{(x_{i+1} - x_i)(y_i + y_{i+1})}{2}\).
Integral acumulada: \(E_0 = 0\), \(E_i = E_{i-1} + \dfrac{(t_i - t_{i-1})(y_{i-1} + y_i)}{2}\).
Regressão¶
Reta de mínimos quadrados \(y = a_0 + a_1 x\), com \(n\) pontos:
Coeficiente de determinação: \(R^2 = 1 - \dfrac{\sum (y_i - \hat y_i)^2}{\sum (y_i - \bar y)^2}\) (1 = a curva explica toda a variação; 0 = não explica nada).
Linearização:
| Modelo | Transformação | Reta |
|---|---|---|
| exponencial \(y = a\,e^{bx}\) | \(\ln y\) | \(\ln y = \ln a + b\,x\) |
| potência \(y = a\,x^b\) | \(\log y\) e \(\log x\) | \(\log y = \log a + b \log x\) |
Séries temporais¶
Média móvel de janela \(w\): \(m_i = \dfrac{1}{w}\sum_{j=i}^{i+w-1} y_j\) (use \(w\) = um ciclo inteiro).
Suavização exponencial: \(\hat y_{t+1} = \alpha\,y_t + (1 - \alpha)\,\hat y_t\), com \(0 < \alpha < 1\).
Previsão sazonal de período \(P\): \(\hat y_t = y_{t-P}\).
Erros de previsão: \(\text{MAE} = \dfrac{1}{n}\sum |\hat y_i - y_i|\), \(\quad \text{RMSE} = \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum (\hat y_i - y_i)^2}\).
Frequências¶
Transformada discreta de Fourier de \(N\) amostras:
Com taxa de amostragem \(f_s\) e duração \(T = N/f_s\): a posição \(k\) é a frequência \(k/T\); a resolução é \(1/T\); a maior frequência visível (Nyquist) é \(f_s/2\).